Question

16．已知函數(shù)y=x²+mx-4，x∈[2，4]
（1）求函數(shù)的最小值g（m）；
（2）若g（m）=10，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對稱軸，通過討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出g（m）的表達(dá)式即可；
（2）根據(jù)g（m）的表達(dá)式求出m的值即可．

解答 解：（1）y=x²+mx-4，x∈[2，4]
函數(shù)的對稱軸是x=-$\frac{m}{2}$，
①-$\frac{m}{2}$≤2即m≥-4時(shí)，函數(shù)在[2，4]遞增，
x=2時(shí)，函數(shù)值最小值，函數(shù)的最小值是2m，
②2＜-$\frac{m}{2}$＜4時(shí)，函數(shù)在[2，-$\frac{m}{2}$）遞減，在（-$\frac{m}{2}$，4]遞增，
x=-$\frac{m}{2}$時(shí)，函數(shù)值最小，最小值是-$\frac{{m}^{2}}{4}$-4，
③-$\frac{m}{2}$≥4時(shí)，函數(shù)在[2，4]遞減，
x=4時(shí)，函數(shù)值最小，函數(shù)的最小值是4m+12，
綜上：g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{2m，m≥-4}\\{-\frac{{m}^{2}}{4}-4，-8＜m＜-4}\\{4m+12，m≤-8}\end{array}\right.$；
（2）g（m）=10，由（1）得：
若2m=10，解得：m=5，符合題意；
若-$\frac{{m}^{2}}{4}$-4=10，無解；
若4m+12=10，無解；
故m=5．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．