Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{e^x}$，定義域?yàn)閇0，2π]，g（x） 為f（x） 的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求方程g（x）=0 的解集；
（2）求函數(shù)g（x） 的最大值與最小值；
（3）若函數(shù)F（x）=f（x）-ax 在定義域上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-$\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，由方程g（x）=0 得$g（x）=\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$=0，由此能求出方程g（x）=0 的解集．
（2）${g}^{'}（x）=-\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{sinx}{{e}^{x}}$-$\frac{cosx}{{e}^{x}}$=-2×$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，令g′（x）=0，解得x=$\frac{π}{2}$或x=$\frac{3π}{2}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x）的最值．
（3）函數(shù)F（x）=f（x）-ax在定義域上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=a的圖象恰恰有兩個(gè)交點(diǎn)，由此利用分類(lèi)討論思想能求出實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{sinx}{e^x}$，定義域?yàn)閇0，2π]，
∴f′（x）=-$\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，
∵g（x） 為f（x） 的導(dǎo)函數(shù)，
∴由方程g（x）=0 得$g（x）=\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$=0，
解得$x=\frac{π}{4}$，或x=$\frac{5π}{4}$，
∴方程g（x）=0 的解集為{$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$}．
（2）∵${g}^{'}（x）=-\frac{cosx}{{e}^{x}}-\frac{sinx}{{e}^{x}}$+$\frac{sinx}{{e}^{x}}$-$\frac{cosx}{{e}^{x}}$=-2×$\frac{cosx}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{π}{2}$或x=$\frac{3π}{2}$，

x	0	（0，$\frac{π}{2}$）	$\frac{π}{2}$	（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π）	2π
g′（x）		-	0	+	0	-
g（x）	1	↓	$-{e}^{-\frac{π}{2}}$	↑	${e}^{-\frac{3π}{2}}$	↓	e-2π

∴g（x）的最大值為g（0）=1，
∴g（x）的最小值為g（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{{e}^{\frac{π}{2}}}$．
（3）∵${F}^{'}（x）=-\frac{sinx}{{e}^{x}}+\frac{cosx}{{e}^{x}}$-a=g（x）-a，
∴函數(shù)F（x）=f（x）-ax在定義域上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，
等價(jià)于g（x）-a=0在定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn)處異號(hào)，
即y=a的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
由（2）知F′（0）=g（0）-a=1-a，
F′（2π）=g（2π）-a=e^-2π-a，
${F}^{'}（\frac{3π}{2}）=g（\frac{3π}{2}）-a={e}^{-\frac{3π}{2}}-a$，
F′（2π）=g（2π）-a=e^-2π-a，
若${F}^{'}（\frac{3π}{2}）＜0$，則F′（2π）＜0，
∴F′（x）=0只有一個(gè)零點(diǎn)，不成立．∴${F}^{'}（\frac{3π}{2}）≥0$．
若${F}^{'}（\frac{3π}{2}）=0$，即a=${e}^{-\frac{3π}{2}}$在x=$\frac{3π}{2}$處同號(hào)，不成立；
若F′（2π）≤0，則F′（x）=0有3個(gè)零點(diǎn)，不成立．
∴只有F′（2π）＞0，
∴滿足條件為：$\left\{\begin{array}{l}{{F}^{'}（\frac{π}{2}）=g（\frac{π}{2}）-a={e}^{-\frac{π}{2}}-a＜0}\\{{F}^{'}（2π）=g（2π）-a={e}^{-2π}-a＞0}\end{array}\right.$，
解得$-{e}^{-\frac{π}{2}}$＜a＜e^-2π或a=${e}^{-\frac{3π}{2}}$．
∴實(shí)數(shù)a 的取值范圍是{a|$-{e}^{-\frac{π}{2}}$＜a＜e^-2π或a=${e}^{-\frac{3π}{2}}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的解集的求法，考查函數(shù)的最值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．