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11.已知函數(shù)f(x)=12x2+mx+2nlnx-p在區(qū)間(0,1)內(nèi)取極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取極小值,則z=3m-2n的取值范圍為(-11,-3).

分析 求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),由題意可得x2+mx+2n=0在(0,1)和(1,2)內(nèi)各有一個根,即有g(shù)(0)>0,g(1)<0,g(2)>0,得到關(guān)于m,n的不等式組,問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,運用角點法,代入計算求出z=3m-2n的范圍即可.

解答 解:∵f(x)=12x2+mx+2nlnx-p,
∴f′(x)=x+m+2nx(x>0)=x2+mx+2nx,
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取得極小值,
∴g(x)=x2+mx+2n=0在(0,1)和(1,2)內(nèi)各有一個根,
g(0)>0,g(1)<0,g(2)>0,
{2n0m+2n+10m+n+20
z=3m-2n的幾何意義為m=0,直線在n軸截距的-2倍,
如圖示:
求得A(-2,0),B(-1,0),C(-3,1),
代入z=3m-2n可得z=-6,-3,-11,
則z=3m-2n的取值范圍為(-11,-3).
故答案為:(-11,-3).

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運用:求極值問題,注意運用轉(zhuǎn)化思想,考查簡單的線性規(guī)劃問題,運用角點法求得z是解題的關(guān)鍵,是一道中檔題.

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