Question

1．（1）已知f（x）=lnx-ax²，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0對x＞0上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）得到a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，記g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出函數(shù)的導數(shù)，得到g（x）的最大值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2{ax}^{2}}{x}$，（x＞0），
（i）若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
（ii）若a＞0，由f′（x）=0，得：x=±$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$時，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）遞增，
x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$時，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）遞減；
（2）由f（x）≤0，得lnx-ax²≤0，a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
記g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，x＞0，
當x＞$\sqrt{e}$時，g′（x）＜0，g（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減，
0＜x＜$\sqrt{e}$時，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞增，
∴g（x）_max=g（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
a≥$\frac{1}{2e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．