Question

已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=

x

ex

-

2

e

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

（I）∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1（x＞0），
當x∈(0，

1

e

)時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
因此，當x=

1

e

時，函數(shù)f（x）取得極小值，也即最小值，f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（II）證明：由（I）可知：f(m)≥-

1

e

．
由g（x）=

x

ex

-

2

e

，得g′(x)=

1-x

ex

．
當x∈（0，1）時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減．
∴函數(shù)g（x）在x=1時取得極大值即最大值，g(1)=

1

e

-

2

e

=-

1

e

．
∴對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．