5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+({a-6})x$,g(x)=-x2+lnx-1
(Ⅰ)若a=2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)對(duì)?x1,x2∈[1,+∞),都有f(x1)>g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)列表判斷
(2)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最大值,最小值,轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值,g(x)的最大值比較即可,得出即$\frac{1}{3}{x^3}+(a-6)x>-2a>-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$恒成立.

解答 解:(1)$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-4x{f^/}(x)={x^2}-4$
令f′(x)=0得x1=-2x2=2

x(-∞,-2)(-2,2)(2,+∞)
f′(x)+-+
 f(x)
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(2,+∞),遞減區(qū)間為(-2,2)
(2)${g^/}(x)=-2x+\frac{1}{x}$若x∈[1,+∞)則g′(x)<0
∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)的最大值為-2  
要使f(x1)>g(x2)成立
即f(x)>-2,x∈[1,+∞)恒成立     
即$\frac{1}{3}{x^3}+(a-6)x>-2a>-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$恒成立
令$h(x)=-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{2}{x}+6$求得它在[1,+∞)的最大值為$6-\root{3}{9}$
∴$a>6-\root{3}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性,的問(wèn)題,關(guān)鍵判斷最值,得出恒成立的條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

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20.如圖,正△ABC中,點(diǎn)D在邊AC上,E,G在邊AB上,且AB=3AG=6,AD=λAC,AE=(1-λ)AB,(0<λ<1),BD,CE相交于點(diǎn)F
(1)證明:A,E,F(xiàn),D四點(diǎn)共圓;
(2)當(dāng)點(diǎn)E是BG中點(diǎn)時(shí),求線段FG的長(zhǎng)度.

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10.已知函數(shù)f(x)=(2ax-lnx)x有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
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17.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則三視圖表示的幾何體的體積最大為( 。
A.$\frac{40}{3}$B.40C.$\frac{20}{3}$D.20

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14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BC、PD的中點(diǎn),若PA=AD=4,AB=2.
(1)求證:EF∥平面PAB.
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15.已知圓C:(x-a)2+(y-2)2=4(a∈R)及直線l:x-y+3=0.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$時(shí),求a的值.

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