【題目】已知橢圓： （）過點(diǎn)，且離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.

【答案】（1）（2）面積的最大值為3，此時(shí)直線的方程為.

【解析】試題分析：（1）由離心率為可得，由點(diǎn)在橢圓上可得，聯(lián)立方程組解得， ， ，（2）因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，因此面積，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得 .最后設(shè)整體換元轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

試題解析：（Ⅰ）依題意， ， ， ，

解得， ， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，所以.

由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，所以， .

又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，故，即， .

則 .

令，則， ，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，因此有，所以，故面積的最大值為3，此時(shí)直線的方程為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，給出下列四個(gè)說法：
①f（x）為奇函數(shù)； ②f（x）的一條對(duì)稱軸為x= ；
③f（x）的最小正周期為π； ④f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調(diào)遞增；
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）成中心對(duì)稱．
其中正確說法的序號(hào)是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+ （a＞1）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）用反證法證明f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓， 是上一點(diǎn)， ，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí)，線段上取點(diǎn)，且滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上，并求出該定直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若存在唯一整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=3sin（2x﹣ ）的圖象為C，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.圖象C關(guān)于直線x= 對(duì)稱
B.圖象C關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）對(duì)稱
C.函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ ， ）內(nèi)是增函數(shù)
D.由y=3sin2x的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B

（1）證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
（2）設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求角B的大小;

(2)若點(diǎn)M為BC中點(diǎn),且AM=AC=2,求a的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，且，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面．

（Ⅱ）求證：平面．

（Ⅲ）寫出四棱錐的體積．（只寫出結(jié)論，不需要說明理由）

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