【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓， 是上一點(diǎn)， ，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí)，線段上取點(diǎn)，且滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上，并求出該定直線．

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)主要考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由，可得，所以，則在中， ， ，再根據(jù)余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出橢圓的方程；（2）本問(wèn)主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，分析題意可知直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線方程為，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去未知數(shù)得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和及橫坐標(biāo)之積，于是設(shè)點(diǎn) ， 將題中條件轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的等式，于是可以得出滿足的方程，即可以證明總在一條直線上.

試題解析：（1）由已知得，且，

在中，由余弦定理得，解得.

則，所以橢圓的方程為.

（2）由題意可得直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得，

設(shè)，則.

設(shè)，由得

（考慮線段在軸上的射影即可），

所以，

于是，

整理得，（*）

又，代入（*）式得，

所以點(diǎn)總在直線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（文）已知矩形ABB1A1是圓柱體的軸截面，O、O1分別是下底面圓和上底面圓的圓心，母線長(zhǎng)與底面圓的直徑長(zhǎng)之比為2：1，且該圓柱體的體積為32π，如圖所示．

（1）求圓柱體的側(cè)面積S側(cè)的值；
（2）若C1是半圓弧 的中點(diǎn)，點(diǎn)C在半徑OA上，且OC= OA，異面直線CC1與BB1所成的角為θ，求sinθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓和直線，直線， 都經(jīng)過(guò)圓外定點(diǎn)．

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，

求證: 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題共14分）

如圖，在四棱錐中， 平面，底面是菱形， .

(Ⅰ)求證： 平面

（Ⅱ）若求與所成角的余弦值；

（Ⅲ）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段圖象如圖所示．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[﹣ ， ]上的單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（I）求證： 平面．

（II）求證：平面平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）過(guò)點(diǎn)，且離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在長(zhǎng)方體中，，是棱上的一點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）若是棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則|a﹣b+c|+|2a+b|=（　　）

A.a+b
B.a﹣2b
C.a﹣b
D.3a

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