Question

16．已知角α的頂點在原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若角α的終邊過點$P（x，-\sqrt{2}）$，且$cosα=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x$（x≠0），判斷角α所在的象限，并求sinα和tanα的值．

Answer 1

分析 利任意角的三角函數(shù)的定義求得x的值，分類討論求得sinα和tanα的值．

解答 解：依題意，點P到原點O的距離為$r=|{OP}|=\sqrt{{x^2}+{{（-\sqrt{2}）}^2}}=\sqrt{{x^2}+2}$，則$cosα=\frac{x}{r}=\frac{x}{{\sqrt{{x^2}+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x$，
∵x≠0，∴x²+2=12，∴x²=10，$x=±\sqrt{10}$，
∴$r=2\sqrt{3}$，所以P在第三或第四象限．
當(dāng)點P在第三象限時，$x=-\sqrt{10}$，$y=-\sqrt{2}$，則$sinα=\frac{y}{r}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，$tanα=\frac{y}{x}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
當(dāng)點P在第四象限時，$x=\sqrt{10}$，$y=-\sqrt{2}$，則$sinα=\frac{y}{r}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，$tanα=\frac{y}{x}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．屬于基礎(chǔ)題．