Question

7．已知曲線y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0）上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$），此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn) （$\frac{3}{8}$π，0），若φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）用“五點(diǎn)法”畫出（1）中函數(shù)在$[{-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}}]$上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A、ω、φ的值，寫出函數(shù)y的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出y的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）列出x、y的對(duì)應(yīng)值表，再描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)y的圖象即可．

解答 解　（1）由題意知A=$\sqrt{2}$，T=4×（$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$）=π，
ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴y=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）；
又∵sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=1，
∴$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
又∵φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴y的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]，k∈Z$；
（2）列出x、y的對(duì)應(yīng)值表：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3}{8}$π	$\frac{5}{8}$π	$\frac{7}{8}$π
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π
y	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

描點(diǎn)，連線，畫出y的圖象如圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．