Question

若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+（a-1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，這是一道求函數(shù)的單調(diào)性的逆向思維問題．本題的關(guān)鍵是比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，分類討論解題一目了然，從而確定出a的范圍．

解答：解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-ax+a-1．
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
當(dāng)a-1≤1，即a≤2時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，不合題意．
當(dāng)a-1＞1，即a＞2時，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，
在（1，a-1）內(nèi)為減函數(shù)，在（a-1，+∞）上為增函數(shù)．
依題意應(yīng)有
當(dāng)x∈（1，4）時，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（6，+∞）時，f′（x）＞0．
所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7．
所以a的取值范圍是[5，7]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)就函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及求函數(shù)的單調(diào)性的逆向思維問題．