Question

19．已知正三棱錐的底面邊長為2，高為1．
（1）求該正三棱錐的體積；
（2求該正三棱錐的表面積．

Answer 1

分析 （1）正三棱錐S-ABC中，底面△ABC中，AB=AC=BC=2，取BC中點D，連結AD，SD，SO⊥底面ABC，交AD于O，則SO=1，由此能求出該正三棱錐的體積．
（2）該正三棱錐的表面積S=3S_△SBC+S_△ABC，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵正三棱錐的底面邊長為2，高為1，
∴正三棱錐S-ABC中，底面△ABC中，AB=AC=BC=2，
取BC中點D，連結AD，SD，SO⊥底面ABC，交AD于O，
則SO=1，
∴該正三棱錐的體積：
V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）該正三棱錐的表面積：
S=3S_△SBC+S_△ABC=3×（$\frac{1}{2}×BC×SD$）+$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$
=3×（$\frac{1}{2}×2×\sqrt{S{O}^{2}+（\frac{AD}{3}）^{2}}$）+$\sqrt{3}$
=3$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正三棱錐的體積和表面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．