Question

20．若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)$F（{0，-\frac{1}{4}}）$的距離比它到直線$y=\frac{5}{4}$的距離小1．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若直線y=mx-4與軌跡E交于A、B兩點(diǎn)，且$|AB|=3\sqrt{6}$．求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化題中的條件，應(yīng)用拋物線的定義求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理通過(guò)弦長(zhǎng)公式求解即可．

解答 解：：（1）據(jù)題意可知，點(diǎn)P（x，y）到直線y=$\frac{1}{4}$的距離等于它到點(diǎn)F（0，$-\frac{1}{4}$）的距離，
所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F（0，-$\frac{1}{4}$）為交點(diǎn)，直
線y=$\frac{1}{4}$為準(zhǔn)線的拋物線．（3分）
因?yàn)閜=$\frac{1}{2}$，拋物線開(kāi)口向下，故
點(diǎn)P的軌跡方程是x²=-y．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx-4}\\{{x}^{2}=-y}\end{array}\right.$，可得：x²+mx-4=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=-4，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}+16}$=3$\sqrt{6}$，
解得m=$±\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用定義法求軌跡方程，直線與拋物線的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．