Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a₁≠0，2a_n－a₁＝S₁·S_n，n∈N^．

(1) 求a₁，a₂，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2) 求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：(1) ∵  S₁＝a₁.∴  當(dāng)n＝1時(shí)，2a₁－a₁＝S₁·S₁a₁≠0，a₁＝1.

當(dāng)n>1時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝＝2a_n－2a_n－1a_n＝2a_n－1

{a_n}是首項(xiàng)為a₁＝1公比為q＝2的等比數(shù)列，a_n＝2^n－1，n∈N^*.

(2) 設(shè)T_n＝1·a₁＋2·a₂＋3·a₃＋…＋n·a_n

qT_n＝1·qa₁＋2·qa₂＋3·qa₃＋…＋n·qa_n

qT_n＝1·a₂＋2·a₃＋3·a₄＋…＋n·a_n＋1，

上式左右錯(cuò)位相減：

(1－q)T_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n－na_n＋1＝a₁－na_n＋1＝2ⁿ－1－n·2ⁿ

T_n＝(n－1)·2ⁿ＋1，n∈N^*.