Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=1，M為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）設(shè)直線AM與平面ABCD所成的角為α，二面角M-AC-B的大小為β，求sinαcosβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)OM，推導(dǎo)出OM∥PB，由此能證明PB∥平面ACM．
（2）取DO的中點N，連結(jié)MN，AN，則MN∥PO，推導(dǎo)出∠MAN=α為所求的直線AM與平面ABCD所成的角，從而求出sinα=$\frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$，取AO的中點R，連結(jié)NR，MR，則∠MRN為二面角M-AC-B的補角，即為π-β．從而得到cos（π-β）=-cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出sinαcosβ．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)OM，在△PBD中，
∵O為AC的中點，M為PD的中點．∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB?平面ACM，
∴PB∥平面ACM；（4分）
解：（2）取DO的中點N，連結(jié)MN，AN，則MN∥PO，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN=α為所求的直線AM與平面ABCD所成的角．
∵MN=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ADO中，∵DO=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AN=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
在Rt△AMN中，AM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{4}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinα=$\frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$，（8分）
取AO的中點R，連結(jié)NR，MR，
∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，
由三垂線定理知MR⊥AO，故∠MRN為二面角M-AC-B的補角，即為π-β．
∵NR=$\frac{1}{2}$，MN=$\frac{1}{2}$，∴cos（π-β）=-cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（11分）
∴sinαcosβ=$\frac{2}{3}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．