Question

1．已知若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為90°的兩個單位向量，則$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為（　　）

• A． 120°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 由已知可得$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$，進一步求得$|\overrightarrow{a}|、|\overrightarrow|、\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為90°的兩個單位向量，
∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$，
∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（3\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{9|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}-6\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
$|\overrightarrow|=\sqrt{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$6|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}-|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}=5$．
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{5}{\sqrt{10}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=45°．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，訓練了利用數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．