Question

14．設(shè)a，b，c，d為正數(shù)，且a+b+c+d=1．證明：
（1）${a^2}+{b^2}+{c^2}+{d^2}≥\frac{1}{4}$；
（2）$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}i3co3r3+\frac{d^2}{a}≥1$．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式直接證明即可．
（2）法一：利用分析法，不妨設(shè)a≥b≥c≥d，直接證明即可．
法二：利用$\frac{a^2}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，$\frac{c^2}8jgsa8e+d≥2c$，$\frac{d^2}{a}+a≥2d$，然后求和證明即可．

解答 證明：（1）∵（a²+b²+c²+d²）•（1+1+1+1）≥（a+b+c+d）²=1，
∴${a^2}+{b^2}+{c^2}+{d^2}≥\frac{1}{4}$當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c=d=\frac{1}{4}$時(shí)，等號(hào)成立…（6分）
（2）（法一）不妨設(shè)a≥b≥c≥d，則a²≥b²≥c²≥d²，$\frac{1}j7d21fp≥\frac{1}{c}≥\frac{1}≥\frac{1}{a}$，
$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}gkspxzr+\frac{d^2}{a}≥\frac{a^2}{a}+\frac{b^2}+\frac{c^2}{c}+\frac{d^2}borzbta=a+b+c+d=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c=d=\frac{1}{4}$時(shí)，等號(hào)成立…（12分）
（法二）∵$\frac{a^2}+b≥2a$，$\frac{b^2}{c}+c≥2b$，$\frac{c^2}ljqoqiq+d≥2c$，$\frac{d^2}{a}+a≥2d$，
以上各式相加得，$\frac{a^2}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}jtqc3jr+d+\frac{d^2}{a}+a≥2a+2b+2c+2d$，
即$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}mahjmpc+\frac{d^2}{a}≥a+b+c+d$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c=d=\frac{1}{4}$時(shí)，等號(hào)成立…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，柯西不等式以及分析法與綜合法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．