Question

7．在平面內，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=6$，動點P，M滿足$|\overrightarrow{AP}|=2$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，則$|\overrightarrow{BM}{|^2}$的最大值是4．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=6$可知△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的等邊三角形，P在以A為圓心的圓上，建立坐標系，設出P點坐標，求出$\overrightarrow{BM}$的坐標，根據(jù)模長公式即可得出|$\overrightarrow{BM}$|²關于θ的函數(shù)，利用三角恒等變換求出此函數(shù)的最大值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=6$，
∴$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}）$=0，$\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$=0，$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}）$=0，
∴△ABC是等邊三角形，設△ABC的邊長為a，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=a²cos60°=$\frac{1}{2}{a}^{2}$=6，∴a=2$\sqrt{3}$．
∵|$\overrightarrow{AP}$|=2，∴P在以A為圓心，以2為半徑的圓上，
∵$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，∴M是PC的中點，
以BC為x軸，以BC的中垂線為y軸建立坐標系，
則B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），A（0，3），
設P（2cosθ，3+2sinθ），則M（cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+sinθ），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+cosθ，$\frac{3}{2}$+sinθ），
∴|$\overrightarrow{BM}$|²=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+cosθ）²+（$\frac{3}{2}$+sinθ）²=3$\sqrt{3}$cosθ+3sinθ+10=6sin（θ+$\frac{π}{3}$）+10，
∴當sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1時，|$\overrightarrow{BM}$|²取得最大值16．
故答案為4．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，坐標法可使計算簡化，屬于中檔題．