Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，直線y=$\frac{a}{e}$x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），若函數(shù)h（x）=g（x）-bx²為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=$\frac{a}{e}$x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）記F（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{x}$），x＞0．考察y=F（x）的符號(hào)，得出g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}，0＜x≤{x}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x＞{x}_{0}}\end{array}\right.$，再分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{e}{x}_{0}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{e}^{{x}_{0}}}}\\{\frac{a}{e}=\frac{{x}_{0}（2-{x}_{0}）}{{e}^{{x}_{0}}}}\end{array}\right.$，∴a=1；
（2）記F（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{x}$），x＞0．下面考察y=F（x）的符號(hào)．
求導(dǎo)F′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
x≥2，F(xiàn)′（x）＜0，0＜x＜2，x（2-x）≤1，∴F′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵F（1）=$\frac{1}{e}$＞0，F(xiàn)（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{2}$＜0，
∴F（x）在[1，2]上有唯一零點(diǎn)x₀，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}，0＜x≤{x}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x＞{x}_{0}}\end{array}\right.$，
∴h（x）=g（x）-bx²=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{x}-b{x}^{2}，0＜x≤{x}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}-b{x}^{2}，x＞{x}_{0}}\end{array}\right.$，
x＞x₀，h′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2bx≥0恒成立，∴2b≤$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
設(shè)u（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，u′（x）=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，函數(shù)在（x₀，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴u（x）_min=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴2b≤-$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴b≤-$\frac{1}{2{e}^{2}}$；
0＜x≤x₀時(shí)，h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2bx，b≤0，h′（x）＞0在（0，x₀）上恒成立，
綜上所述，b≤-$\frac{1}{2{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)h（x）=g（x）-bx²為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．