Question

19．如圖所示的矩形是長為100碼，寬為80碼的足球比賽場地．其中PH是足球場地邊線所在的直線，AB是球門，且AB=8碼．從理論研究及經(jīng)驗表明：當足球運動員帶球沿著邊線奔跑時，當運動員（運動員看做點P）所對AB的張角越大時，踢球進球的可能性就越大．
（1）若PH=20，求tan∠APB的值；
（2）如圖，當某運動員P沿著邊線帶球行進時，何時（距離AB所在直線的距離）開始射門進球的可能性會最大？

Answer 1

分析 （1）計算tan∠APH與tan∠BPH的值，利用兩角差的正切公式求出tan∠APB的值；
（2）設(shè)PH=x，x∈（0，100），計算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．

解答 解：（1）AB=8，AH=40-4=36，PH=20，
∴tan∠APH=$\frac{36}{20}$=$\frac{9}{5}$，
tan∠BPH=$\frac{36+8}{20}$=$\frac{11}{5}$，
∴tan∠APB=tan（∠BPH-∠APH）
=$\frac{\frac{11}{5}-\frac{9}{5}}{1+\frac{11}{5}×\frac{9}{5}}$
=$\frac{5}{62}$；
即PH=20，tan∠APB的值為$\frac{5}{62}$；
（2）設(shè)PH=x，x∈（0，100），
∴tan∠APH=$\frac{36}{x}$，tan∠BPH=$\frac{44}{x}$，
∴tan∠APB=tan（∠BPH-∠APH）
=$\frac{\frac{44}{x}-\frac{36}{x}}{1+\frac{44}{x}•\frac{36}{x}}$
=$\frac{8x}{{x}^{2}+44×36}$
=$\frac{8}{x+\frac{44×36}{x}}$≤$\frac{8}{2\sqrt{x•\frac{44×36}{x}}}$
=$\frac{4}{12\sqrt{11}}$
=$\frac{\sqrt{11}}{33}$，當且僅當x=12$\sqrt{11}$時取“=”；
∴當運動員P沿著邊線帶球行進時，離AB所在直線的距離為12$\sqrt{11}$碼開始射門進球的可能性會最大．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與應(yīng)用問題，是綜合題．