Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面ABCD．點Q在PA上，且PA=4PQ=4．∠CDA=∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$．M，N分別為PD，PB的中點．
（Ⅰ）求證：MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求截面MCN與底面ABCD所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）以A為原點建立坐標系，通過求出$\overrightarrow{MQ}$和$\overrightarrow{CN}$的坐標得出MQ∥CN，從而求的MQ∥平面PBC；
（2）求出平面CMN的法向量$\overrightarrow{n}$，又$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）為平面ABCD的法向量，計算cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞的值即可得出二面角的大小．

解答 （I）證明：以A為原點建立空間直角坐標系如圖所示：
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（$\sqrt{2}$，1，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），D（$\sqrt{2}$，0，0），
∵M，N是PD，PB的中點，∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），N（0，1，2），
∴$\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，1），$\overrightarrow{CN}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），
∴$\overrightarrow{MQ}∥$$\overrightarrow{CN}$，
∴MQ∥CN，又MQ?平面PBC，CN?平面PBC，
∴MQ∥平面PCB．
（II）解：$\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，2），
設平面CMN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x-y+2z=0}\\{-\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{2}$得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，1）．
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
∴截面MCN與底面ABCD所成的銳二面角的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間向量與二面角的計算，屬于中檔題．