Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=
（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三個整數(shù)解，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，令f′（x）＞0，得f（x）的遞增區(qū)間為（0， e）；

令f′（x）＜0，得f（x）的遞減區(qū)間為（ e，+∞），

∵x∈[1，m]，則當1≤m≤ e時，f（x）在[1，m]上為增函數(shù)，

f（x）的最小值為f（1）= ；

當m＞ e時，f（x）在[1， e）上為增函數(shù)，

在（ e，m]上為減函數(shù)，又f（3）= =f（1），

∴若 e＜m≤3，f（x）的最小值為f（1）= ，

若m＞3，f（x）的最小值為f（m）= ，

綜上，當1≤m≤3時，f（x）的最小值為f（1）= ；

當m＞3，f（x）的最小值為f（m）=

（2）解：由（1）知，f（x）的遞增區(qū)間為（0， e），遞減區(qū)間為（ e，+∞），

且在（ e，+∞）上，ln x＞lne=1＞0，又x＞0，則f（x）＞0，又f（ ）=0，

∴n＜0時，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜n，

而f（x）＞0的解集為（ ，+∞），整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；

n=0時，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0，得f（x）≠0，解集為（0， ）∪（ ，+∞），

整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；

n＞0時，由不等式f2（x）﹣nf（x）＞0，得f（x）＞n或f（x）＜0，

∵f（x）＜0的解集為（0， ）無整數(shù)解，

若不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三個整數(shù)解，

∵f（x）在（0， e）遞增，在（ e，+∞）遞減，

而1＜ e＜2，f（1）=f（3），

所以，三個正整數(shù)為1，2，3，而f（4）= ，

綜上，實數(shù)n的取值范圍是[ ， ）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上的最小值即可；（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性，通過討論n的符號，解關(guān)于f（x）的不等式結(jié)合不等式解的個數(shù)，求出n的范圍即可．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．