Question

14．直線l的方程為y=x+3，P為l上任意一點，過點P且以雙曲線12x²-4y²=3的焦點為焦點作橢圓，那么具有最短長軸的橢圓方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{16}=1$

Answer 1

分析 由題意設出橢圓方程，P的坐標，結合P在橢圓上，可得關于P的橫坐標的方程，由判別式大于等于0求得a的范圍，進一步求出a的最小值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：由題意可設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（ a＞b＞0），
則c=1，∴a²-b²=c²=1，
設P﹙m．m+3﹚，由P在橢圓上，得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（m+3）^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，
∴﹙a²-1﹚m²+a²﹙m²+6m+9﹚=a²﹙a²-1﹚=﹙a²﹚²-a²，
即﹙2a²-1﹚m²+6a²m+10a²-﹙a²﹚²=0．
由△=﹙6a²﹚²-﹙8a²-4﹚﹙10a²-a⁴﹚≥0，
得36a⁴-80a⁴++40a²+8a⁶-4a⁴≥0，
∴-48a²+40+8a⁴≥0，a⁴-6a²+5≥0，
即﹙a²-5﹚﹙a²-1﹚≥0，
解得a²≤1或 a²≥5，
∵c²=1，a²＞c²，
∴a²≥5，長軸最短，即a²=5，
則b²=a²-1=4．
∴所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．