Question

4．已知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，${b_n}={2^{{a_n}-1}}$，a₁=1，a₃=3，c_n=a_n•b_n，那么數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 設(shè)公比為q，由題意得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n+1}-1}}{{2}^{{a}_{n}-1}}$=${2}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=q，即a_n+1-a_n=log₂q．可得{a_n}為等差數(shù)列，又$d=\frac{{{a_3}-{a_1}}}{2}=1$，a₁=1．可得a_n，b_n．c_n=a_n•b_n=（n+1）•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：設(shè)公比為q，由題意得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n+1}-1}}{{2}^{{a}_{n}-1}}$=${2}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=q，即a_n+1-a_n=log₂q．
所以{a_n}為等差數(shù)列，又$d=\frac{{{a_3}-{a_1}}}{2}=1$，a₁=1．
所以a_n=1+n-1=n．
b_n=2^n-1．
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•2^n-1．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=2×1+3×2+4×2²+…+（n+1）•2^n-1．
2S_n=2×2+3×2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
∴-S_n=2+2+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ=1+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=n•2ⁿ．
故答案為：n•2ⁿ．

點評 本題考查了錯位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．