Question

3．已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ） 若θ為銳角，且f（θ+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式、輔助角公式得到：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）將f（θ+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$代入（Ⅰ）中的函數(shù)解析式，求得cos2θ=$\frac{1}{3}$，根據(jù)θ為銳角來求sin2θ的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
=cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期是：$\frac{2π}{2}$=π，最大值是$\sqrt{2}$，此時x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（θ+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴cos2θ=$\frac{1}{3}$，
∵θ為銳角，即0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2θ＜π，
∴sin2θ=$\sqrt{1-co{s}^{2}2θ}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．