Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-x）^{3}，x＜1}\\{（x-1）^{3}，x≥1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的不等式f（x²-2x+2）＜f（1-a²x²）的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• D． [-$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$]

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)遞增，所以不等式f（x²-2x+2）＜f（1-a²x²）可化為：（a²-1）x²+2x-1＞0，分a＜0和a＞0兩種情況，可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由解析式得：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)遞增，
所以不等式f（x²-2x+2）＜f（1-a²x²）可化為：
|x²-2x+2-1|＜|1-a²x²-1|，
即x²-2x+1＜a²x²，即（a²-1）x²+2x-1＞0，
若原不等式的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，
則a＜0時(shí)，（$\frac{1}{1-a}$，$\frac{1}{1+a}$）有且僅有三個(gè)整數(shù)，解得：a∈[-$\frac{3}{4}$，-$\frac{2}{3}$），
a＞0時(shí)，（$\frac{1}{1+a}$，$\frac{1}{1-a}$）有且僅有三個(gè)整數(shù)，解得：a∈（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
綜上可得：x∈[-$\frac{3}{4}$，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱性，一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想是中檔題