Question

13．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=（x+2）e^-x-2（其中e是自然對數的底數，e=2.71828…）．
（Ⅰ） 當x＞0時，求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若x∈[0，2]時，方程f（x）=m有實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用函數的奇偶性轉化求解函數的解析式即可．
（Ⅱ） 通過當x=0時，當0＜x≤2時，當0＜x＜1時，求出函數的零點，極值，然后求解實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 當x≤0時，f（x）=（x+2）e^-x-2，
當x＞0時，則-x＜0時，f（-x）=（-x+2）e^x-2，
由于f（x）奇函數，則f（x）=-f（-x）=-[（-x+2）e^x-2]，
故當x＞0時，f（x）=（x-2）e^x+2．（6分）
（Ⅱ） 當x=0時，f（0）=0．
當0＜x≤2時，f（x）=（x-2）e^x+2，f'（x）=（x-1）e^x，由f'（x）=0，得x=1，
當0＜x＜1時，f'（x）＜0，當1＜x＜2時，f'（x）＞0，則f（x）在（0，1）上單調遞減；
在（1，2）上單調遞增．則f（x）在x=1處取得極小值f（1）=2-e，（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，故當0＜x≤2時，f（x）∈[2-e，2]．
綜上，當x∈[0，2]時，f（x）∈[2-e，2]，
所以實數m的取值范圍是[2-e，2]．（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值，考查分類討論思想的應用，是中檔題．