Question

5．已知A、F分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點、右焦點，點P為橢圓C上一動點，當PF⊥x軸時，AF=2PF．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C存在點Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形（點P在第一象限），求直線AP與OQ的斜率之積；
（3）記圓O：x²+y²=$\frac{ab}{{a}^{2}+^{2}}$為橢圓C的“關聯(lián)圓”．若b=$\sqrt{3}$，過點P作橢圓C的“關聯(lián)圓”的兩條切線，切點為M、N，直線MN的橫、縱截距分別為m、n，求證：$\frac{3}{{m}^{2}}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由PF⊥x軸，知x_P=c，代入橢圓C的方程，得${y}_{p}=±\frac{^{2}}{a}$，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）由四邊形AOPQ是平行四邊形，知PQ=a，且PF∥x軸，從而y_p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，y_Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，由此能求出k_AP•k_OQ．（3）由（1）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又b=$\sqrt{3}$，從而橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，圓O的方程為x²+y²=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，連接OM，ON，由題意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，從而四邊形OMPN的外接圓是以OP 為直徑的圓，由此能證明$\frac{3}{{m}^{2}}+\frac{4}{{n}^{2}}$為定值．

解答 解：（1）由PF⊥x軸，知x_P=c，代入橢圓C的方程，
得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{p}}^{2}}{^{2}}$=1，解得${y}_{p}=±\frac{^{2}}{a}$，…（2分）
又AF=2PF，∴a+c=$\frac{2^{2}}{a}$，
∴a²+ac=2b²，即a²-2c²-ac=0，
∴2e²+e-1=0，
由e＞0解得橢圓C的離心率e=$\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）∵四邊形AOPQ是平行四邊形，∴PQ=a，且PF∥x軸，
∴${x}_{P}=\frac{a}{2}$，代入橢圓C的方程，解得${y}_{P}=±\frac{\sqrt{3}}{2}b$，…（6分）
∵點P在第一象限，∴y_p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
同理可得x_Q=-$\frac{a}{2}$，y_Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，…（7分）
∴k_AP•k_OQ=$\frac{\frac{\sqrt{3}b}{2}}{\frac{a}{2}-（-a）}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}b}{2}}{-\frac{a}{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由（1）知e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴k_AP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$．…（9分）
證明：（3）由（1）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又b=$\sqrt{3}$，解得a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
圓O的方程為x²+y²=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，①…（11分）
連接OM，ON，由題意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，
∴四邊形OMPN的外接圓是以OP 為直徑的圓，
設P（x₀，y₀），則四邊形OMPN的外接圓方程為（x-$\frac{{x}_{0}}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{0}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$），
即${x}^{2}-x{x}_{0}+{y}^{2}-y{y}_{0}$=0，②…（13分）
①-②，得直線MN的方程為xx₀+yy₀=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，
令y=0，則m=$\frac{2\sqrt{3}}{7{x}_{0}}$，令x=0，則n=$\frac{2\sqrt{3}}{7{y}_{0}}$．
∴$\frac{3}{{m}^{2}}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$=49（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$），
∵點P在橢圓C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，
∴$\frac{3}{{m}^{2}}+\frac{4}{{n}^{2}}$=49（為定值）．…（16分）

點評 本題考查橢圓的離心率、橢圓方程、代數(shù)式為定值等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題，