Question

20．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n?log₃（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n+2，變形為a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=a_n?log₃（a_n+1）=n•3ⁿ-n，利用錯位相減法、求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=3a_n+2，變形為a_n+1+1=3（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為3，公比為3．
∴a_n+1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．
（2）b_n=a_n?log₃（a_n+1）=n•3ⁿ-n，
設(shè){n•3ⁿ}的前n項和為T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{（2n-1）×{3}^{n+1}}{4}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2n-1}{4}$?3ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．