Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x+t|的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，+∞）．
（3）求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；
（4）設(shè)a，b∈M，證明：|ab+1|＞|a+b|．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的幾何意義，分類討論，即可求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；
（2）利用分析法證明即可．

解答 （1）解：由已知得t=1，…．（1分）
所以|x+1|+1＜|2x+1|
當(dāng)x＜-1時(shí)，-（x+1）+1＜-（2x+1），得x＜-1
當(dāng)$-1≤x≤-\frac{1}{2}$時(shí)，（x+1）+1＜-（2x+1）得x∈ϕ
當(dāng)$x＞-\frac{1}{2}$時(shí)，（x+1）+1＜（2x+1）得x＞1
綜上得M={x|x＜-1或x＞1}…..（5分）
（2）證明：要證|ab+1|＞|a+b|，
只須證（ab）²+2ab+1＞a²+2ab+b²即證（ab）²-a²-b²+1＞0
因?yàn)椋╝b）²-a²-b²+1=a²（b²-1）-b²+1=（b²-1）（a²-1）
由于a，b∈{x|x＜-1，x＞1}，所以（b²-1）（a²-1）＞0成立
即|ab+1|＞|a+b|成立．…..（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值的幾何意義，考查分析法證明不等式，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．