Question

18．定圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0）且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線x=ny+1與E交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P₁（P₁與Q不重合），則直線P₁Q與x軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫(xiě)出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點(diǎn)N的軌跡為橢圓，2a=4，c=$\sqrt{3}$，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，則P₁的坐標(biāo)可推斷出，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而可表示出P1Q的直線方程，把y=0代入求得x的表達(dá)式，把x₁=ny₁+1，x₂=ny₂+1代入求得x=4，進(jìn)而可推斷出直線P₁Q與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0）在圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16內(nèi)，
所以圓N內(nèi)切于圓M，
因?yàn)閨NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點(diǎn)N的軌跡為橢圓，
且2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以b=1，所以軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由直線x=ny+1與E，得（ny+1）²+4y²=4，即（n²+4）y²+2ny-3=0，n≠0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則P₁（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{2n}{4+{n}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{n}^{2}}$，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P₁（x₁，-y₁），Q（x₂，y₂）的直線方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0，則x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又x₁=ny₁+1，x₂=ny₂+1．
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2n{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=3+1=4．
這說(shuō)明，直線P₁Q與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用方程的思想，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．