Question

若橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過點Q（1，

1

2

）作圓C₂：x²+y²=1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C₂相切于點P，且交橢圓C₁于點M，N，求證：∠MON是鈍角．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可知：c=1，k_OQ=

1

2

，則k_AB=-2，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，由題意得∠MON是鈍角；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓

x2

5

+

y2

4

=1，聯(lián)立得到：（5k²+4）x²+10kmx+5m²-20=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明∠MON是鈍角．

解答： （Ⅰ）解：由題意可知：c=1，k_OQ=

1

2

，則k_AB=-2，…（3分）
所以直線AB的方程是y=-2（x-1），即y=-2x+2，即b=2．…（5分）
所以a²=b²+c²=5，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．…（7分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，由題意得∠MON是鈍角，…（9分）
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
與橢圓

x2

5

+

y2

4

=1，聯(lián)立得到：（5k²+4）x²+10kmx+5m²-20=0，
則

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
由韋達(dá)定理，得x1+x2=-

10km

5k2+4

，x1x2=

5m2-20

5k2+4

，
代入上式可以得到：

OM

•

ON

=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

9m2-20(k2+1)

5k2+4

，…（12分）
因為直線l與圓C₂相切，則

|m|

1+k2

=1，
所以m²=1+k²，…（14分）
代入上式：

OM

•

ON

=

9m2-20(k2+1)

5k2+4

＜0，
所以∠MON是鈍角．…（15分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查角為鈍角的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．