Question

19．若曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=ae^x（a＞0）至少存在兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{8}{{e}^{2}}$，+∞）
• B． （0，$\frac{8}{{e}^{2}}$]
• C． [$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）
• D． （0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 x＜0時(shí)，兩條曲線由一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，如果恒有ae^x＞x²，兩條曲線沒有公共點(diǎn)，通過分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍．然后求解補(bǔ)集即可．

解答 解：曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=ae^x（a＞0），x＜0時(shí)，兩條曲線由一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＞0時(shí)，如果恒有ae^x＞x²，兩條曲線沒有公共點(diǎn)，
由ae^x＞x²⇒a＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$=x2e-x，∴3a＞x²e^-x+2a，?x∈（0，+∞）
令f（x）=x²e^-x+2a，知f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=e^-x（2x-x²），令f′（x）=0⇒x=0或2，
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小值	增	極大值	減

由上表可知f（x）_極小值=f（0）=2a；
可知：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x=2時(shí)，f（x）_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$+2a，
所以3a＞$\frac{4}{{e}^{2}}$+2a⇒a＞$\frac{4}{{e}^{2}}$．
曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=ae^x（a＞0）至少存在兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為：（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，正確運(yùn)用分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．