【題目】已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）= ，試求f（x）在區(qū)間[﹣2，6]上的最值．

【答案】
（1）證明：令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），

∴f（x）=f（﹣x），即f（x）為奇函數(shù)


（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，且x1＜x2，

∴f（x2﹣x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）為增函數(shù)，

∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．

當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3


【解析】（1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可證明f（x）是奇函數(shù)；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，借助于已知等式證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)，從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60，G為BC的中點(diǎn)．

（1）求證：FG平面BED；

（2）求證：平面BED⊥平面AED；

（3）求直線(xiàn)EF與平面BED所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列且a2+a8=﹣4，a6=2

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，過(guò)上一點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，且橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)， 為拋物線(xiàn)： 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)fk（x）=xk+bx+c（k∈N* ， b，c∈R），g（x）=logax（a＞0，a≠1）．
（1）若b+c=1，且fk（1）=g（ ），求a的值；
（2）若k=2，記函數(shù)fk（x）在[﹣1，1]上的最大值為M，最小值為m，求M﹣m≤4時(shí)的b的取值范圍；
（3）判斷是否存在大于1的實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]滿(mǎn)足等式：g（x1）+g（x2）=p，且滿(mǎn)足該等式的常數(shù)p的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于B，C兩點(diǎn)．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設(shè)直線(xiàn)AB和AC分別與直線(xiàn)x＝4交于點(diǎn)M，N，問(wèn)：x軸上是否存在定點(diǎn)P使得MP⊥NP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，，橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，若橢圓于雙曲線(xiàn)的離心率分別為，，則的最小值為__________．

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