Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：{$\frac{1}{Sn}$}是等差數(shù)列；
（2）若${b_n}=\frac{2^n}{s_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，可得n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，代入已知，同除以S_nS_n-1，由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n，求得b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：∵-a_n=2S_nS_n-1，∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
即有S_n=$\frac{1}{2n}$，
則b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，
兩式相減可得，-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
化簡(jiǎn)可得，${T_n}={2^{n+2}}（n-1）+4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的遞推式，以及數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．