Question

18．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成角的余弦值；
（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

分析 （I）取CC₁的中點(diǎn)F，連接AF，BF，在△ABF中，利用余弦定理計(jì)算cos∠BAF即可得出結(jié)論；
（II）過(guò)E作NE⊥AC于N，連接A₁N，則由線面垂直的性質(zhì)可得A₁N⊥C₁D，通過(guò)計(jì)算N的位置即可得出E的位置；
（III）連接C₁N，則可證面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥C₁N，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出DH即為D到平面B₁C₁E的距離，在△C₁DN中計(jì)算DH即可得出．

解答 解：（Ⅰ）取CC₁的中點(diǎn)F，連接AF，BF，則AF∥C₁D．
∴∠BAF為異面直線AB與C₁D所成的角或其補(bǔ)角．
∵△ABC為等腰直角三角形，AC=2，∴AB=2$\sqrt{2}$．
又∵CC₁=2，∴AF=BF=$\sqrt{5}$．
∵cos∠BAF=$\frac{A{F}^{2}+A{B}^{2}-B{F}^{2}}{2AF•AB}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即異面直線AB與C₁D所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅱ）過(guò)E作NE⊥AC于N，連接A₁N，
∵AA₁⊥平面ABC，EN?平面ABC，
∴AA₁⊥EN，又AC⊥EN，AC∩AA₁=A，
∴EN⊥平面AA₁C₁C，又C₁D?平面AA₁C₁C，
∴EN⊥C₁D，
又A₁E⊥C₁D，EN∩A₁E=E，
∴C₁D⊥平面A₁EN，∵A₁N?平面A₁EN，
∴A₁N⊥C₁D．
∵四邊形AA₁C₁C為正方形，
∴N為AC的中點(diǎn)，又BC⊥AC，EN⊥AC，
∴E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．
（Ⅲ）連接C₁N，
由（II）可知EN⊥平面AA₁C₁C，又EN?平面ENC₁B₁，
∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥C₁N，垂足為H，則DH⊥平面B₁C₁NE，
∴DH為點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離．
在正方形AA₁C₁C中，∵D，N分別是AA₁，AC的中點(diǎn)，
∴DN=$\sqrt{2}$，C₁D=C₁N=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DC₁N=$\frac{{C}_{1}{D}^{2}+{C}_{1}{N}^{2}-D{N}^{2}}{2{C}_{1}D•{C}_{1}N}$=$\frac{4}{5}$，∴sin∠DC₁N=$\frac{3}{5}$．
∴DH=C₁Dsin∠DC₁N=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間角與空間距離的計(jì)算，屬于中檔題．