Question

6．已知a＞0，b＞0且實數(shù)x、y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-2y+1≥0\end{array}$．若ax+by的最大值為4，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為1．

Answer 1

分析 由線性約束條件求出最優(yōu)解，代入線性目標函數(shù)得到a+b=1，然后利用（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）展開整理，最后利用基本不等式求最小值．

解答 解：畫出滿足條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-2y+1≥0\end{array}$的平面區(qū)域，如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，1），
顯然直線z=ax+by過A（1，1）時z取到最大值4，
此時：a+b=4，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{a}+\frac{a}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$）=1，
當且僅當a=b=2時“=”成立，
故答案為：1．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了利用基本不等式求最值，解答此題的關(guān)鍵是對“1”的靈活運用，是基礎題．