Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，把方程f（x）-x=0的根按從小到大順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）與y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…，可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，有-1＜x-1＜0，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
當(dāng)3＜x≤4時(shí)，有2＜x-1≤3，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此類推，當(dāng)n＜x≤n+1（其中n∈N）時(shí)，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函數(shù)f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點(diǎn)為：（0，1）和（1，2），
由于指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)．
然后①將函數(shù)f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位，即得到函數(shù)f（x）=2^x-1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．
即當(dāng)x≤0時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=0．
②取①中函數(shù)f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)（1，1）．
即當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=1．
③�、谥泻瘮�(shù)f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)（2，2）．
即當(dāng)1＜x≤2時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=2．
④以此類推，函數(shù)y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…，n+1．
綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為：
0，1，2，3，4，…，
∴該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，n∈N⁺．
故答案為：$\frac{n（n-1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推公式、函數(shù)圖象交點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系、等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．