Question

18．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈\{0，4\}}\\{{x}^{2}-2x+3，0＜x≤2}\\{|x-3|，2＜x＜4}\end{array}\right.$，若f（x）=kx有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$）∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{4}$）∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]
• C． [0，$\frac{1}{4}$]∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}$]∪（2$\sqrt{3}$-2，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 作出f（x）與y=kx的函數(shù)圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷k的范圍．

解答 解：作出f（x）與y=kx的函數(shù)圖象如圖所示：

若直線y=kx過（4，1），則k=$\frac{1}{4}$，
若直線y=kx過（2，3），則k=$\frac{3}{2}$，
若直線y=kx與y=x²-2x+3相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+3}\\{2{x}_{0}-2=k}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{3}$，y₀=6-2$\sqrt{3}$，k=2$\sqrt{3}$-2，
∴當(dāng)0≤k＜$\frac{1}{4}$或2$\sqrt{3}-2$＜k≤$\frac{3}{2}$時(shí)，直線y=kx與f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．