Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx在x=$\frac{3}{2}$處取得極大值為-$\frac{3}{4}$+3ln$\frac{3}{2}$．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（$\frac{3}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{3}{4}$+3ln$\frac{3}{2}$，解方程即可得到a，b；
（2）由（1）f（x）=x-x²+3lnx，再設(shè)g（x）=2x-2-f（x）=x²+x-2-3lnx，（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值、最小值，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+2ax+$\frac{x}$，
由函數(shù)f（x）在x=$\frac{3}{2}$處取得極大值為-$\frac{3}{4}$+3ln$\frac{3}{2}$，
則f′（$\frac{3}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{3}{4}$+3ln$\frac{3}{2}$，
即為1+3a+$\frac{2}{3}$b=0，$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$a+bln$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$+3ln$\frac{3}{2}$，
解得a=-1，b=3；
（2）證明：由（1）f（x）=x-x²+3lnx，
令g（x）=2x-2-f（x）=x²+x-2-3lnx，（x＞0），
則g′（x）=2x+1-$\frac{3}{x}$=$\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
則x=1處g（x）取得極小值，也為最小值，且為0．
則有g(shù)（x）≥0，
即有f（x）≤2x-2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值的方法，屬于中檔題．