Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（{2a+1}）x+2lnx$．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'（1）=f'（3）求出a即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知令f'（x）＞0可得到增區(qū)間，令f'（x）＜0可得到減區(qū)間但要注意前提是x＞0．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx  （a∈R）
∴定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$（x＞0）．
（1）∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行
∴f'（1）=f'（3）
∴a=$\frac{2}{3}$；
（2）∵f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$（x＞0）．
∴①當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{a}$＞2，在區(qū)間（0，2）和（$\frac{1}{a}$，+∞） 上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（2，$\frac{1}{a}$） 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和（$\frac{1}{a}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，$\frac{1}{a}$）．
②當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{2x}$，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
③當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜2，在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$） 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，2）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$） 和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系．