Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在C上，若|AO|=|AF|=$\frac{3}{2}$；
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與C交于P，Q，若線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求△OPQ的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)A在C上，|AO|=|AF|=$\frac{3}{2}$，可得$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，求出p，即可求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+b，代入拋物線方程，可得x²-4kx-4b=0，利用線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，得2k²+b=1，表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)方法求最值．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A在C上，|AO|=|AF|=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴p=2，
∴C的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+b，代入拋物線方程，可得x²-4kx-4b=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，∴y₁+y₂=4k²+2b，
∵線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，∴2k²+b=1，
△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}•b•\sqrt{16{k}^{2}+16b}$=b$\sqrt{2+2b}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{^{3}+^{2}}$（0＜b≤1），
設(shè)y=b³+b²，y′=3b²+2b＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴b=1時(shí)，△OPQ的面積的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．