8.已知函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(2)說明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性定義證明;
(3)若 f(2a)<28,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|的定義域為R{x|x≠0},判斷f(-x)=3|-x|+log3|-x|=3|x|+log3|x|=f(x),即可;
(2)用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步,取值,作差,化簡變形,判號,下結(jié)論;
(3)利用f(3)=28,f(2a)<28,(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|的定義域為R{x|x≠0}
且f(-x)=3|-x|+log3|-x|=3|x|+log3|x|=f(x),
則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
(2)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=${3}^{|{x}_{1}|}+lo{g}_{3}|{x}_{1}|-{3}^{|{x}_{2}|}-lo{g}_{3}|{x}_{2}|$<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(3)∵f(3)=28,f(2a)<28,(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
∴2a<3,∴a<log23.

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的證明,奇偶性注意先求定義域,單調(diào)性證明一般有兩種方法,定義法,導(dǎo)數(shù)法.屬于中檔題.

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