Question

2．設(shè)圓${C_1}：{（x+\sqrt{5}）^2}+{y^2}$=4與圓${C_2}：{（x-\sqrt{5}）^2}+{y^2}$=4，動(dòng)圓C與圓C₁外切，與圓C₂內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓C的圓心軌跡L的方程；
（2）已知點(diǎn)$M（2\sqrt{5}，1）$，P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|+|C₂P|最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），半徑為r，則|MC₁|=r+2，|MC₂|=r-2，可得|MC₁|-|MC₂|=r+2-r+2=4＜|C₁C₂|，利用雙曲線的定義，即可求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．
（2）利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為（x，y），半徑為r，則|MC₁|=r+2，|MC₂|=r-2，
∴|MC₁|-|MC₂|=r+2-r+2=4＜|C₁C₂|=2$\sqrt{5}$，
由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且2a=4，a=2，b=1，
雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1（x≥2）$；
（2）|MP|+|C₂P|=|MP|+|C₁P|-2a≥|MC₁|-2a=$\sqrt{46}-4$，
∴|MP|+|C₂P|最小值為$\sqrt{46}-4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．