已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

(1)  ;(2)存在，.

解析試題分析：(1)通過橢圓性質(zhì)列出的方程，其中離心率,分析圖形知道當點P在短軸端點時，面積取得最大值，所以,橢圓中,從而建立關于的方程，解出;即得到橢圓的標準方程；(2)對于存在性的問題，要先假設存在，先設存在這樣的點，,結合圖形知道要先討論,當時，明顯切線不垂直，當時，先設切線，與橢圓方程聯(lián)立，利用，得出關于斜率的方程，利用兩根之積公式，解出點坐標.即值.此題為較難題型，分類討論時要全面.
試題解析：(1)因為點在橢圓上，所以
因此當時，面積最大，且最大值為
又離心率為即
由于，解得
所求橢圓方程為
(2)假設直線上存在點滿足題意，設，顯然當時，從點所引的兩條切線不垂直.
當時，設過點向橢圓所引的切線的斜率為，則的方程為
由消去，整理得：

所以，      *
設兩條切線的斜率分別為，顯然，是方程的兩根，故：
解得：，點坐標為或
因此，直線上存在兩點和滿足題意.
考點：1.橢圓的性質(zhì)與標準方程；2.直線垂直的判斷；3.存在性問題的求解.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與n，共線．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓有兩個不同的交點和，且原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部，
求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知為橢圓上的三個點，為坐標原點.
（1）若所在的直線方程為，求的長；
（2）設為線段上一點，且，當中點恰為點時，判斷的面積是否為常數(shù)，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點，點A、B分別是橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）設M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點到點M的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.
（1）證明和均為定值；
（2）設線段的中點為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點分別是橢圓的左、右焦點, 點在橢圓上上.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程;
（Ⅱ）設直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,點到的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由.

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