如圖(1),在等腰直角三角形ABC中,AB=2
2
,∠ABC=90°,點(diǎn)O,M,N分別為線段AC,OC,BC的中點(diǎn),將△ABO和△MNC分別沿BO,MN折起,使二面角A-BO-M和二面角C-MN-O都成直二面角,如圖(2)所示.

(1)求證:AB∥面CMN;
(2)求平面ANC與平面CMN所成的銳二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)M到平面ANC的距離.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)由已知得OB∥面CMN,OA∥MC,OA?面CMN,由此能證明AB∥面CMN.
(2)分別以O(shè)B,OM,OA為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面ANC與平面CMN所成的銳二面角的余弦值.
(3)由
MC
=(0,0,1)
,平面ANC的法向量為:
n1
=(1,1,1)
,能求出點(diǎn)M到平面ANC的距離.
解答: (12分)
解:(1)∵OB∥MN,OB?面CMN,
∴OB∥面CMN,OA∥MC,OA?面CMN,
∴OA∥面CMN,且OA∩OB=O,
∴面OAB∥面CMN,又AB?面OAB,
∴AB∥面CMN.
(2)分別以O(shè)B,OM,OA為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,
則A(0,0,2),B(2,0,0),
M(0,1,0),C(0,1,1),N(1,1,0),
AC
=(0,1,-1),
NC
=(-1,0,1)
,
設(shè)平面ANC的法向量為:
n1
=(x,y,z)
,
則有
n1
AC
=y-z=0
n1
NC
=-x+z=0

令x=1,得
n1
=(1,1,1)
,
而平面CMN的法向量為:
OM
=
n1
=(0,1,0)
,
|cos<
n1
n2
>|=
|
n1
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
3
3
,
∴平面ANC與平面CMN所成的銳二面角的余弦值為
3
3

(3)
MC
=(0,0,1)

由(2)知平面ANC的法向量為:
n1
=(1,1,1)
,
∴點(diǎn)M到平面ANC的距離d=
|
MC
n1
|
|
n1
|
=
3
3
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,對于任意的x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)判斷函數(shù)的奇偶性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,曲線C1是以原點(diǎn)O為中心、F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線C2是以O(shè)為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點(diǎn)且∠AF2F1為鈍角,我們把由曲線C1和曲線C2合成的曲線C稱為“月蝕圓”.若|AF1|=7,|AF2|=5.
(Ⅰ)求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線方程;
(Ⅱ)過F2作一條與x軸相交的直線l,分別與“月蝕圓”依次交于B、C、D、E四點(diǎn),
(1)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),求
|CD|
|BE|
的值;
(2)當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí),若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn),問
|CD|•|HF2|
|BE|•|GF2|
是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=x3-3x2在區(qū)間[-1,5]上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b,c>0,求證:S=
a2
c+b
+
b2
c+a
+
c2
a+b
1
2
(a+b+c).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),它的一個(gè)頂點(diǎn)為M(0,1),離心率e=
6
3

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=3.求證:直線AB過定點(diǎn),并求出直線AB的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)求f(1)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從下列題中選答1題,多選按所做的前1題記分)
(1)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.求證:a2+b2+c2
1
3

(2)求證:
6
-
5
>2
2
-
7

(3)已知a>0,b>0,且a+b>2,求證:
1+b
a
1+a
b
中至少有一個(gè)小于2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某廣場上有4盞裝飾燈,晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈,每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是
2
3
,出現(xiàn)綠燈的概率都是
1
3
.記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為ξ,當(dāng)這排裝飾燈閃爍一次時(shí):
(1)求ξ=2時(shí)的概率;
(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望.

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