Question

如圖，曲線C₁是以原點O為中心、F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓的一部分，曲線C₂是以O為頂點、F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，我們把由曲線C₁和曲線C₂合成的曲線C稱為“月蝕圓”．若|AF₁|=7，|AF₂|=5．
（Ⅰ）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線方程；
（Ⅱ）過F₂作一條與x軸相交的直線l，分別與“月蝕圓”依次交于B、C、D、E四點，
（1）當直線l⊥x軸時，求

|CD|

|BE|

的值；
（2）當直線l不垂直x軸時，若G為CD中點、H為BE中點，問

|CD|•|HF2|

|BE|•|GF2|

是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）因為在橢圓中2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，所以可求曲線C₁方程．利用拋物線定義，可求曲線C₂方程．
（Ⅱ）（1）當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=2，從而|CD|=8，|BE|=

32

3

，可得

|CD|

|BE|

的值；
（2）先設出B、C、D、E四點坐標，過F₂作的與x軸不垂直的直線方程，分別與橢圓方程，拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，求

|CD|•|HF2|

|BE|•|GF2|

的值，看結(jié)果是否為定值．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，得a=6，…（2分）
設A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則（x+c）²+y²=7²，（x-c）²+y²=5²，
兩式相減得xc=6，由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=5，
則c=2，x=3或x=2，c=3，
又∠AF₂F₁為鈍角，則x=2，c=3舍去．…（4分）
所以橢圓方程為

x2

36

+

y2

32

=1，拋物線方程為y²=8x．…（6分）
（Ⅱ）（1）當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=2，從而|CD|=8，|BE|=

32

3

，
所以

|CD|

|BE|

=

3

4

；…（9分）
（2）當直線l不垂直x軸時，設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直線y=k（x-2），代入

x2

36

+

y2

32

=1得：8(

y

k

+2)2+9y2-288=0，即（8+9k²）y²+32ky-256k²=0，
則y1+y2=-

32k

8+9k2

，y1y2=-

256k2

8+9k2

，
同理，將y=k（x-2）代入y²=8x得：ky²-8y-16k=0，
則y3+y4=

8

k

，y₃y₄=-16，
所以

|CD|•|HF2|

|BE|•|GF2|

=

|y3-y4|• 1 2 |y1+y2|

|y1-y2|• 1 2 |y3+y4|

=

(y3+y4)2-4y3y4 (y3+y4)2 • (y1+y2)2 (y1+y2)2-4y1y2

=

1

3

為定值．…（14分）

點評：本題考查了橢圓，拋物線與直線的位置關(guān)系，掌握設而不求思想的應用是關(guān)鍵．