Question

3．在△ABC中，O為其內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}=\vec 0$，則△AOB和△AOC的面積比是（　　）

• A． 3：4
• B． 3：2
• C． 1：1
• D． 1：3

Answer 1

分析 設(shè)M為AC的中點(diǎn)，則由向量加法的平行四邊形法則可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，結(jié)合題意可得2$\overrightarrow{OM}$=-3$\overrightarrow{OM}$，由數(shù)乘向量的性質(zhì)可得B，O，M三點(diǎn)共線，且2OM=3BO；進(jìn)而可得$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{OM}{BM}$=$\frac{3}{5}$，而又由S_△AOB+S_△BOC=$\frac{2}{5}$S_△ABC，分析可得S_△AOB=$\frac{1}{5}$S_△ABC，結(jié)合題意計(jì)算可得△AOB和△AOC的面積比，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖：在△ABC中，M為AC的中點(diǎn)，
則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，
又由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}=\vec 0$，則有2$\overrightarrow{OM}$=-3$\overrightarrow{OB}$，
從而可得B，O，M三點(diǎn)共線，且2OM=3BO；
由2OM=3BO可得，$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{OM}{BM}$=$\frac{3}{5}$，
S_△AOB+S_△BOC=$\frac{2}{5}$S_△ABC，
又由S_△AOB=S_△BOC，則S_△AOB=$\frac{1}{5}$S_△ABC，
則$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{1}{3}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加法運(yùn)算及其幾何意義，向量的共線與點(diǎn)共線的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)由2OM=3BO．