【題目】已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,線段的兩端點(diǎn), 在拋物線上.

1求拋物線的方程;

2軸上存在一點(diǎn),使線段經(jīng)過點(diǎn)時(shí),以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),求的值;

3在拋物線上存在點(diǎn),滿足,若是以角為直角的等腰直角三角形,求面積的最小值.

【答案】(1);(2);(3)最小值為16.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線的定義,丨QF=QQ1丨,即可求得p的值,即可求得拋物線方程;
(2)設(shè)AB的方程,代入橢圓方程,由,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理,即可求得m的值;
(3)設(shè) , ,根據(jù)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,取,記, ,則有, ,所以, , ,由,即,進(jìn)而化簡(jiǎn)求出,得: ,即可求得ABD面積的最小值.

試題解析:

(1)設(shè)拋物線的方程為,拋物線的焦點(diǎn)為,則,所以,

則拋物線的方程為.

(2)設(shè)直線的方程為,要使以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則只需即可,

聯(lián)立方程 ,則, ,

,

解得: .

(3)如圖所示,

設(shè), , ,根據(jù)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,取,記, ,

則有, ,所以, , ,

又因?yàn)?/span>是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,所以,

,將代入得:

進(jìn)而化簡(jiǎn)求出,得: ,

,可以先求的最小值即可,

,令,

,

所以可以得出當(dāng)時(shí), 最小值為,此時(shí)

即當(dāng), 時(shí), 為等腰直角三角形,且此時(shí)面積最小,最小值為16.

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