Question

18．已知f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx（a＞0），x∈[1，e]．
（1）若f（x）的最小值為0，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過當0＜a≤1，當1＜a＜e²，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與極值，然后求解a的值．
（2）由（1）知，當0＜a≤1或a≥e²時，當1＜a＜e²時，要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，列出不等式求解a的范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}=\frac{{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}}{x}$，
當$\sqrt{a}≤1$時，即0＜a≤1，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}≠0$，
當$1＜\sqrt{a}＜e$時，而1＜a＜e²，f（x）在$[1，\sqrt{a}]$單調(diào)遞減，在$（\sqrt{a}，e]$單調(diào)遞增∴$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a-aln\sqrt{a}=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}alna=0$，∴a=e，
當$\sqrt{a}≥e$時，即a≥e²，f（x）在[1，e]單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-a=0$∴$a=\frac{1}{2}{e^2}$（舍）
綜上a=e
（2）由（1）知，當0＜a≤1或a≥e²時，f（x）在[1，e]上單綢，不可能存在兩個零點，
當1＜a＜e²時，要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，則有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}a（1-lna）＜0\\ f（1）=\frac{1}{2}＞0\\ f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-a＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞e\\ a＜\frac{1}{2}{e^2}\end{array}\right.⇒e＜a＜\frac{1}{2}{e^2}$，
所以a的取值范圍為$（e，\frac{1}{2}{e^2}）$．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．